1.1 集合的含义及其表示
一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也不明白集合的意义，于是他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的原始概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网上跳动，数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”你能理解数学家的话吗？
基础巩固
1、下列说法正确的是()
A.我校爱好足球的同学组成一个集合
B.{1,2,3}是不大于3的自然数组成的集合
C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合
D.数1,0,5，12，32，64， 14组成的集合有7个元素
答案：C
2、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，xA，yB}中的元素个数为()
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
答案：C
3、下列四个关系中，正确的是()
A.a{a，b} B.{a}{a，b}
C.a{a} D.a{a，b}
答案：A
4、集合M＝{（x，y)|xy0，xR，yR}是(）
A.第一象限内的点集
B.第三象限内的点集
C.第四象限内的点集
D.第二、四象限内的点集
解析：集合M为点集且横、纵坐标异号，故是第二、四象限内的点集。
答案：D
5、若A＝{（2，－2)，(2,2)}，则集合A中元素的个数是(）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案：B
6、集合M中的元素都是正整数，且若aM，则6－aM，则所有满足条件的集合M共有()
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
解析：由题意可知，集合M中包含的元素可以是3,1和5,2和4中的一组，两组，三组，即M可为{3}，{1,5}，{2,4}，{3,1,5}，{3,2,4}，{1,5,2,4}，{3,1,5,2,4}，共7个。
答案：B
7、下列集合中为空集的是()
A.{xN|x2 B.{xR|x2－1＝0}
C.{xR|x2＋x＋1＝0} D.{0}
答案：C
8、设集合A＝{2,1－a，a2－a＋2}，若4A，则a＝()
A.－3或－1或2 B－3或－1
C.－3或2 D.－1或2
解析：当1－a＝4时，a＝－3，A＝{2,4,14}；当a2－a＋2＝4时，得a＝－1或2，当a＝－1时，A＝{2,2，4}，不满足互异性，当a＝2时，A＝{2,4，－1}。a＝－3或2.
答案：C
9、集合P＝{x|x＝2k，kZ}，Q＝{x|x＝2k＋1，kZ}，M＝{x|x＝4k＋1，kZ}，若aP，bQ，则有()
A.a＋bP
B.a＋bQ
C.a＋bM
D.a＋b不属于P、Q、M中任意一个
解析：∵aP，bQ，a＝2k1，k1Z，b＝2k2＋1，k2Z，a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2Z，a＋bQ.
答案：B
10、由下列对象组成的集体，其中为集合的是________（填序号）。
①不超过2的正整数；
②高一数学课本中的所有难题；
③中国的高山；
④平方后等于自身的实数；
⑤高一(2)班中考500分以上的学生。
答案：①④⑤
11、若a＝n2＋1，nN，A＝{x|x＝k2－4k＋5，kN}，则a与A的关系是________.
解析：∵a＝n2＋1＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5，且当nN时，n＋2N.
答案：aA
12、集合A＝{x|xR且|x－2|5}中最小整数为_______.
解析：由|x－2|－5x－2－37，最小整数为－3.
答案：－3
13、一个集合M中元素m满足mN＋，且8－mN＋，则集合M的元素个数最多为________.
答案：7个
14、下列各组中的M、P表示同一集合的是________（填序号）。
①M＝{3，－1}，P＝{(3，－1)}；
②M＝{(3,1)}，P＝{(1,3)}；
③M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{a|a＝x2－1，xR}；
④M＝{y|y＝x2－1，xR}，P＝{(x，y)|y＝x2－1，xR}。
答案：③
能力提升
15、已知集合A＝{x|xR|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}中有且仅有一个元素，求a的值。
解析：(1)若a2－1＝0，则a＝1.当a＝1时，x＝－12，此时A＝－12，符合题意；当a＝－1时，A＝，不符合题意。
（2）若a2－10，则＝0，即(a＋1)2－4(a2－1)＝0a＝53，此时A＝－34，符合题意。综上所述，a＝1或53.
16、若集合A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求a2014＋b2013的值。
解析：由题知a0，故ba＝0，b＝0，a2＝1，
a＝1，
又a1，故a＝－1.
a2014＋b2013＝（－1）2014＋02013＝1.
17、设正整数的集合A满足：“若xA，则10－xA”。
（1）试写出只有一个元素的集合A；
（2）试写出只有两个元素的集合A；
（3）这样的集合A至多有多少个元素？
解析：(1)令x＝10－xx＝5.故A＝{5}。
（2）若1A，则10－1＝9A；反过来，若9A，则10－9＝1A.因此1和9要么都在A中，要么都不在A中，它们总是成对地出现在A中。同理，2和8,3和7,4和6成对地出现在A中，故{1,9}或{2,8}或{3,7}或{4,6}为所求集合。
(3)A中至多有9个元素，A＝{1,9,2,8,3,7,4,6,5}。
18、若数集M满足条件：若aM，则1＋a1－aM(a0，a1)，则集合M中至少有几个元素？
解析：∵aM，1＋a1－aM，1＋1＋a1－a1－1＋a1－a＝－1aM，
1－1a1＋1a＝a－1a＋1M，1＋a－1a＋11－a－1a＋1＝aM.
∵a0且a1，a，1＋a1－a，－1a，a－1a＋1互不相等集合M中至少有4个元素。
1.3 交集、并集
若集合A＝{x|x是6的倍数}，B＝{x|x是4的倍数}，则A与B有公共元素吗？它们的公共元素能组成一个集合吗？
两个集合A与B的公共元素能组成一个集合吗？若能组成一个集合C，则C与A、B的关系如何？
基础巩固
1、若集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{1,2,4}则AB＝()
A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}
C.{1,2} D.{0}
答案：A
2、设S＝{x||x|3}，T＝{x|3x－51}，则ST＝()
A. B.{x|－33}
C.{x|－32} D.{x|23}
答案：C
3、已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且AB＝{3}， AUB＝{9}，则A＝()
A.{1,3} B.{3,7,9}
C.{3,5,9} D.{3,9}
答案：D
4、设A＝{（x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则AB为(）
A.{x＝1，或y＝2} B.{1,2}
C.{(1,2)} D.(1,2)
解析：AB＝x，y4x＋y＝63x＋2y＝7＝{(1,2)}。
答案：C
5、已知集合A＝{（x，y)|x，yR且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，yR且x＋y＝1，则AB的元素个数为(）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
解析：由x2＋y2＝1，x＋y＝1x＝1，y＝0或x＝0，y＝1，
即AB＝{(1,0)，(0,1)}。
答案：C
6、已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（UA)B为(）
A.{1,2,4} B.{2,3,4}
C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}
答案：C
7、已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的'解分别为M和S，且MS＝{3}，则pq＝________.
解析：∵MS＝{3}，
3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p，q.
答案：43
8、已知全集S＝R，A＝{x|x1}，B＝{x|05}，则(SA)B＝________.
解析：SA＝{x|x1}。
答案：{x|15}
9、设集合A＝{x||x－a|1，xR}，B＝{x|15}，若AB＝，则a的取值范围是________.
解析：∵A＝{x|a－1a＋1}，若AB＝，则a＋11或a－1a0或a6.
答案：{a|a0或a6}
10、设集合A＝{0,1,2,3,4,5,7}，B＝{1,3,6,8,9}，C＝{3,7,8}，那么集合(AC是________.
答案：{1,3,7,8}
11、满足条件{1,3}A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是________个。
答案：4
能力提升
12、集合A＝{x||x|1，xR}，B＝{y|y＝x2，xR}，则AB为()
A.{x|－11} B.{x|x0}
C.{x|01} D.
解析：∵A＝{x|－11}，B＝{y|y0}
AB＝{x|01}。
答案：C
13、若A、B、C为三个集合，且有AB＝BC，则一定有()
C.A D.A＝
答案：A
14、设全集U＝{a，b，c，d}，A＝{a，b}，B＝{b，c，d}，则UAUB＝________
解析：UA＝{c，d}，UB＝{a}，
UAUB＝{a，c，d}。
答案：{a，c，d}
15、（2013上海卷）设常数aR，集合A＝{x|(x－1)(x－a)0}，B＝{x|xa－1}，若AB＝R，则a的取值范围为________.
解析：当a1时，A＝{x|x1或xa}，
要使AB＝R，则a1，a－112；
当a1时，A＝{x|xa或x1}，要使AB＝R，则a1，a－1a1.
综上，a
答案：{a|a2}
16、已知集合A＝{x||x＋2|3，xR}，集合B＝{x|(x－m)(x－2)0}，xR}，且AB＝（－1，n），求m和n的值。
解析：|x＋2|－3x＋2－51，
A＝{x|－51}，又∵AB＝（－1，n），
－1是方程(x－m)(x－2)＝0的根，即m＝－1，此时B＝{x|－12}，AB＝（－1,1），即n＝1.
17、设集合P＝{1,2,3,4}，求同时满足下列三个条件的集合A：
(1)AP；
（2）若xA，则2xA；
（3）若xPA，则2xPA.
解析：∵21＝2,22＝4，因此1和2不能同时属于A，也不能同时属于UA，同样地，2和4也不能同时属于A和UA，对P的子集进行考查，可知A只能为：{2}，{1,4}，{2,3}{1,3,4}。
18、设集合A＝{x|x＋10或x－40}，B＝{x|2aa＋2}。
（1）若A，求实数a的取值范围；
（2）若AB＝B，求实数a的取值范围。
解析：(1)A＝{x|x－1或x4}，
∵A，
2a2＋a，a＋24或2aa＋2，2a－1.
a＝2或a－12.
综上所述，实数a的取值范围为aa－12或a＝2.
（2）∵AB＝B，BA.
①B＝时，满足BA，则2aa＋22，
②B时，则
2aa＋2，a＋2－1或2aa＋2，2a4.
即a－3或a＝2.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a－3或a＝2}。
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