在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
1、函数概念
变量：在问题研究过程中，可能取不同数值的量叫做变量(variable)；
常量：在问题研究过程中，保持数值不变的量叫做常量(constant)（或常数）。
要点解析
1、一般来说，变量用字母表示，常量用具体的数表示，但也有例外，如圆的周长公式：c=2πr，周长c和半径r是变量，2和圆周率π是常量，有些特定的量（常量）也用特定的字母表示（如π）；
2、量一般用数表示它的大小，因此要注意单位的统一，必要时要注明；
3、变量和常量是相对的，在不同研究过程中会相互转化。
函数：在某个变化过程中有两个变量，设为x和y，如果在变量x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数(function)，x叫做自变量(independent variable)。
要点解析
在中学数学学习过程中，“函数”概念会不断深化，上海“二期”初中教材采用了“依赖说”较之“一期”初中教材的“对应说”降低了起点，更浅显和通俗，理解这一概念要注意如下三点：
1、函数不是数，是指一个变化过程中两个变量的依赖关系，两个变量可用x、y来表示，也可以用其他字母来表示；
2、自变量x是有取值范围的，这个取值范围要根据具体问题确定，如圆的周长是圆的半径的函数，而半径只能大于零；
3、变量y是依赖变量x的变化而变化，而且这种“依赖关系”是确定的，所以变量y也叫因变量。
附“一期”教材“对应说”：在某个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x在某个允许取值范围内的每一个确定的值，按照某一个对于法则，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数
（见“九年义务教育课本《数学》八年级第一学期”P50页，上海教育出版社，1996年版）
函数解析式： 表达两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式或函数关系式。
定义域： 函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域(domain)。
要点解析
1、自变量取值的范围是指使函数有意义的自变量取值的全体。当一个函数以解析式表示时，如果对函数定义域未加说明，其定义域由解析式确定，当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；当解析式是偶次根式时，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的全体实数，解析式为奇次根式时，自变量可取全体实数；
2、当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义；
3、自变量的取值范围有无限的，也有有限的，还有是单独一个（或几个）数的。如，其自变量的取值范围是x=4.
函数值： 如果变量y是自变量x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x=a时的函数值(value of a function)。
要点解析
对于函数y=f(x)，y=f(a)表示当x=a时的函数值。
值域 函数的自变量取遍定义域中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域。
1、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
注：正比例函数一般形式 y=kx （k不为零） ① k不为零 ② x指数为1 ③ b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；
当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。
（1） 解析式：y=kx(k是常数，k≠0)
（2） 必过点：(0，0)、(1，k)
（3） 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
（4） 增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5） 倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
2、一次函数及性质
一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数。当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
注：一次函数一般形式 y=kx b （k不为零） ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
一次函数y=kx b的图象是经过(0，b)和(-k/b，0)两点的一条直线，我们称它为直线y=kx b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到。（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：y=kx b(k、b是常数，k0)
（2）必过点：(0，b)和(-k/b，0)
（3）走向：
k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小。
（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。
（6）图像的平移：
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位。
初中数学一次函数知识点汇总
3、一次函数y=kx+b的图象的画法。
根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可。
一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：(0，b)，(-k/b，0)。即横坐标或纵坐标为0的点。
4、正比例函数与一次函数之间的关系
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得
到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
5、正比例函数和一次函数及性质
6、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：
（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
（3）解方程得出未知系数的值；
（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式。
换元法是数学中非常重要且广泛使用的方法。我们通常将未知或变量称为元素。所谓的替换方法是用新变量替换原始公式的一部分，或者在相对复杂的数学公式中修改原始公式，以简化它并使问题易于解决。
在解决数学问题时，如果首先确定结果的欲望有一定的形式，其中包含一些未确定的系数，然后根据未确定系数方程组的设定条件，解决这些未确定的系数值或找到这些系数之间的关系未确定系数，从而解决数学问题，这种问题解决方法称为未确定系数的方法。它是中学数学中常用的方法之一。
特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1、二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。
当h>0，k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h>0，k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0，k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
当h<0，k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。
2、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。
3、抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。
4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
（2）当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的两根。这两点间的距离AB=|x-x|
当△=0。图象与x轴只有一个交点；
当△<0。图象与x轴没有交点。当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。
5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0（a<0)，则当x=-b/2a时，y最小（大）值=(4ac-b^2）/4a。
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。
6、用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax^2+bx+c(a≠0)。
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。
一元二次方程ax2+bx+c=0（a，b，c属于R，a≠0)根辨别，delta=b2-4ac，不仅用于确定根的性质，而且作为一种求解方法问题，代数变形，解方程(群），解不等式，研究函数甚至几何，三角运算具有非常广泛的应用。
函数的三种表示方法
（1）列表法：具体地反映了函数与自变量的数值对应关系。
（2）图象法：直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律。
（3）解析法：准确地反映了函数与自变量之间的数量关系。
平面几何中的面积公式和与面积公式导出的面积计算相关的属性定理不仅可以用于计算面积，而且还可以明平面几何问题有时会得到两倍的结果。使用面积关系来明或计算平面几何问题称为面积法，这是几何中的常用方法。
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