1、若 为等差数列，且 则 ;
2、若 为等差数列， 当为奇数时， , ( 中间项),
当n为偶数时， 。
3、若 为等差数列，则连续 项的和组成的数列 仍为等差数列。
4、等差数列 中，若 ,则 , 是其前 项之和，有如下性质，
一般地： ,由此式可以推出：
(1)若 ,则 ;
(2)若 则 ;
(3)若 则 ;
(4)若 ,则 。
5、有两个等差数列 、,若 ,则 。
6、若 为等差数列， 为公差，则 。
7、若 、都是等差数列，公差分别为 、,若这两个数列有公共项，则公共项组成的新数列一般仍为等差数列。
8、等差数列 中， (d为公差)。
若公差非零的等差数列 中的三项 构成等比数列，则其公比为： 。
9、等差数列前项和公式 。
10、在等差数列 中，有关 的最值问题常用邻项变号法来求解，分类如下：
(1)当 时，满足 的项数 ,使得 取最大值；
(2)当 时，满足 的项数 ,使得 取最小值；
说明： 存在最大值，只需 , 存在最小值，只需 。
11、若 为等比数列，则连续 项的和组成的数列 仍为等比数列。( )。
12、若 为等比数列，且 则 ;
,
13、若 为等比数列， 、、成等差数列，则 、、成等比数列，其中 、、
14、若 为等比数列，则 。
15、若 为等差数列，则 。
16、;
;
。
17、两个特殊的裂项： , 。
18、由递推公式求数列通项公式类型与方法归类：
类型(ⅰ)方法：累加法
累加公式：
类型(ⅱ) 方法：累乘法
累乘公式：
类型(ⅲ) 方法：不动点法
配成 ,等比数列，其中 ;
类 型(ⅳ) 方法有二
方法一：可配成 ,即类型(ⅲ),配成等比数列。
方法二：可变成 ,即类型(ⅰ),累加法。
类型(ⅴ) 方法：取对数法
等价变形为： ,即类型(ⅲ),配成等比数列。
类型(ⅵ) 方法：特征方程法
(1)若 ,原式可变成： ,先求等比，再累加求 .
(2)若 ,考察特征方程， ,设其两根为 ,分类讨论如下：
①若 ,可求
②若 ,可求 (其中a,b的值由 解出)
类型(ⅶ) 方法：不动点法
类型(ⅷ)方法：不动点法 说明：“不动点法”可参考相关文献
特别地：选择或填空题中，若所求数列某项的项数较大，且求通项不容易，则该数列可能为周
期数列，可通过归纳求某项。
19、求数列前 项和类型与方法归类
(1)若 为等差数列， 为等比数列，则数列 前 项的和可用错位相减法求得。
(2)如果一个数列 ,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，这样的数列可用倒序相加法求和。
形如下列题型：已知函数 为定值 ,
求 的值，就可用倒序相加法求和。
(3)若通项为 个连续自然数积的倒数，则一般可用裂项法求前 项的和。如 是公差为 的等差数列，则有 ,
(4)当一个数列既不是等差数列又不是等比数列时，如果能将这个数列分解为一个等差数列和一个等比数列对应项相加得到的一个新数列，此时可用分组法求和(有时按奇数项和偶数项分组)。
20、数列 是公差非零的等差数列的充要条件是： 是关于 的一次函数，或 是关于 的不含常数项的二次函数。(有时可设 ,若 ,则 是常数列)
21、等差数列 的前 项的算术平均值 是等差数列，等比数列前 项的几何平均值是等比数列。
22、一般地，若 为等差数列， 是 的前 项和，则 也是等差数列。
23、等差数列 中， , 且 ,则使前 项和 成立的最大自然数 是 。
怎么学好数列
高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。
题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。
题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。
对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法
对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。
总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮
助。
学习数学的方法
1、调动兴趣是关键：因为我喜欢数学，所以我愿意去学它，所以我在学习过程中遇到任何艰难险阻也愿意去克服；克服困难所得来的成功体验又增强了我学习的兴趣和信心，所以我更喜欢学数学了。
2、化抽象为生动：比如在讲例题的时候，结合题目给学生讲一些顺口溜、数学故事、数学发展史、生活中的数学等。让学生感到数学就在身边。比如华罗庚的数形结合顺口溜“数与形，本相依，焉能分作两边飞。数缺形时，难直觉；形缺数时，难入微。代数几何本一体，永远联系莫分离。”生活中的数学包括身边的事、新闻时事等，比如：让学生适度参与现在很多父母都热衷的股票问题；自己家里每月消费多少米，多少油，多少盐等，人均消费多少；今年淮河流域出现洪灾，泄洪时就需要考虑上游水位和下游河道宽的关系等等。
3、化抽象为形象：现在的学生大都对电脑感兴趣，如果从这一点入手引导学生学数学，是个很好的办法。郑州一所重点中学的刘老师用几何画板让学生形象直观的体会数学知识，学生在学几何画板的同时，学数学的积极性也被调动起来了。
4、成功体验的积累：兴趣与成就感往往有很大关系。每个孩子都有想成为研究者、发现者的内在愿望，都有被认同和赏识的需要，都希望取得成就和进步。教育者应该善于发现学生的一点点进步，给不同学生提不同的要求，让他们有机会成功，体会成功时的成就感。
5、营造学数学的环境：比如家里的书架上可以放一些数学相关的书籍如《速算秘诀》《中学生数理化》《好玩的数学系列》《训练思考能力的数学书》《故事中的数学》等，并推荐孩子阅读。学校里也可以营造这样的氛围。有位老师说：“我每天课间时间都会坐在教室门口，拿起一本书来看。总会有几个学生来问我看的是什么书，一问一答之间他们就对我手里的书感兴趣了。几天后我就会发现，有一两个学生带头借了这本书。再过一阵子，这本书就风靡全班了。”
6、打牢基础也可以通过做题来实现，这跟题海战术不同，有的学生可能做两道题就弄懂了，那他就不需要再做，有的学生可能需要做20道题，总之，为了达到最好的理解和记忆效果，让学生自己理解知识点之后，再多做1-2道题，达到150%的理解和记忆效果。
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