有效数字（多篇）（新版多篇）

A Level 物理有效数字问题 篇一

A Level 物理有效数字问题

(by: Dr. Yu) 笔者：Dr. 喻麟佑，华南国际预科中心，学术副校长，美国亚利桑那大学物理学博士

一、前言：

很多教师都感觉得到，有效数字（significant figures, 或简写成 s.f.），无论是在剑桥（Cambridge CIE）或者是爱得思（Edexcel）的A Level 物理考试里面，总是令人有点担心的，尤其是剑桥的A Level 物理。笔者有鉴于此，特撰写此文，以减低种种不必要的误会或困扰，请各界多加指教。

为什么会有“有效数字”的需要呢？为什么比小数点几位数更重要呢？这个有效数字的真意，老师们如果切实领悟了，就会发觉其重要性与必要性。否则，虽然知道怎么按照规定来使用，但不明白它真正的用意，却还是不究竟的了。

二、有效数字的基本概念与含义

来描述有效数字的基本概念，就让笔者举一个最简单的例子来出发吧。我们用直尺来量物体的长度。大家都明白，一个直尺的精密度（最小刻度），大概是1mm（1毫米），也就是0.1 cm （0.1厘米）。好了，我们用这支尺来测量一支牙签的长度，我们得到了测量值：

牙签的长度 = 6.4 cm

这是一个有效数字为2的数值。那么，如果有一位同学说，我测到的是：

牙签的长度 = 6.43 cm

这位同学，很可能是言过其实了，他或她怎么能够确定那0.03 cm是可靠的呢？其中猜测的成分就比较高的了，也就是说，那多出来的一位数是“无效的”了。然而，我们说，牙签的长度 = 6.4 cm，可以相当明确的、肯定的说：那不是6.3 cm 或6.5 cm，而是6.4 cm，这6.4 cm的两位数字，则都是“有效的”了。再说，牙签的长度 = 6.4 cm, 这种描述，应该是令人满意的了，毕竟只是一支牙签。如果有些物体，精确度非常重要，而必须测量出更精确的数值，那么，就必须考虑使用更精密的仪器来测量，而不能凭猜测的。

我们再举一个例子，还是用直尺，但是用来量度一条水库鱼的长度（笔者喜欢去吃农家菜），如果，我们得到：

水库鱼长度 = 64.3 cm （很大的一条鱼）

那么，这回是一个有效数字为3的数值了。有效数字多出了一位，其中的含义是什么呢？ 事实上，这条水库鱼，即使我们我们用了2个有效数字来描述，说是64 cm，大部分的人也是能够接受的，如果有人要求高些，也可以按要求，给出3个有效数字：64.3 cm。

我们现在来看看有效数字的含义：

先看牙签的长度：

牙签的长度 = 6.4 cm, 测量的误差最多为加减0.1 cm，或说 1 mm（也就是最差的情况，一般不太可能那么差）， 那么最大的百分误差是多少呢？我们来算算： 0.1/6.4 = 0.016 = 1.6 % 所以说，最大的百分误差应该是加减1.6 %；百分之1.6，误差不大，一般用途，可以接受。

再看看水库鱼长度：

水库鱼长度 = 64.3 cm，误差最多也为加减 0.1 cm （亦即1 mm） 那么最大的百分误差可计算如下 0.1/64.3= 0.0016 = 0.16 % 最大的百分误差误差则是 0.16%，也就是千分之1.6了，精密度也就是更大了，精密了10倍。所以说，有效数字，可直接反映出百分误差的大小。

再举一个例子，比如说，我们用一个卷尺（也具有1 mm的刻度），来测量一段道路的长度，发现数值为

64.327米（或6432.7 cm）

这是一个有效数字为5的数值，其最大百分误差为

0.001/64.327或0.1/6432.7 = 0.000016 = 十万分之1.6（注：1 mm = 0.001 m）

十万分之1.6的精密度，实在是不小，重点是，有没有那个必要？或者，在某些用途中，十万分之1.6的精密度，有没有实际意义在？比如说，吾人报告此段道路的长度为64.3米（三位有效，3 s.f.），甚至说64米（两位有效，2 s.f.），一般来说，是令人满意的了，如果说是64.327米，可能有人会觉得很没必要那么说，甚至于很可笑了，因为开车时、或走路时，那0.001米，对大家来说，是没太大意义的。即使说64.3米，其误差也只有千分之1.6了，因为，即使最大误差为10厘米（0.1米）那么多，我们可以确定道路长度，在最大的误差之下，则可能会是64.2米或64.4米（事实上不可能差那么多），则最大百分误差为 0.1米/64.3米 = 0.0016 = 0.16%，也就是千分之1.6了，针对一般用途来说，已经是非常精确的了。

所以，以一般用途而言，2个有效数字（2 s.f.）往往隐含着百分之几的误差；而3个有效数字（3 s.f.），往往隐含着千分之几的误差。至于更多的有效数字，往往是用在非常特别的领域之中，有其非常特别的需求与用意在。

三、有效数字的表达方法

谈到有效数字的表达方法，科学记数法 (scientific notation)，可以说是一种表达有效数字特别有用的方法，尤其是针对于特别大的数、或特别小的数，特别有帮助，例如

 地球的质量为：5.981024kg  电子的质量为：9.111031kg  光速在真空中为：3.00108 m/s  质子的电量为：1.601019 C

以上相当重要的物理数值，在大学教科书的数值表中，一般是给出三位有效数字为主。在大学物理中，如果没有特别要求，一般的计算的结果，大多是以三位有效数字以内来表达，除非有特别要求，必须使用高于三位有效数字，才使用之。

但是，有时，科学记数法，并非最佳的表达法，很多时候，没有必要来用，例如，20头羊，偏要写成2.00101头羊，反而显得过分了些，比较没有必要。

我们再多看一些例子：

 0.0207，前面的两个0不是有效数字，后面的2、0、7均为有效数字，所以0.0207是一个有3个有效数字的数值，也可以写成 2.07102，也是有3位有效数字。  4.307106，4、3、0、7均为有效数字，后面的10的6次方不是有效数字，所以4.307106是一个有4个有效数字的数值。

 2.60 有3个有效数字，小数点前后的2、6、0均为有效数字。

 0.01300，前面的两个0不是有效数字，但是，最后的四位数1、3、0、0均为有效数字（最后的两个0也算）。所以这是一个有4个有效数字的数值。

 200.340 有6位有效数字。

 2.998108，若写成3个有效数字的数值，则为3.00108。 以上表达有效数字的原则比较没有问题，然而， 我们来看以下一个问题：

Find the weight (in Newton) of a 325 kg object on the surface of the Earth. (g = 9.8 N/kg)

我们可以计算在地球表面的重力：

Weight = mg =325kg9.8N/kg3185N

要写成2位有效数字的答案（因为9.8乃2位有效数字），则可以写成 Weight = 3200 N，或者也可以写成3.2103N，也就是说，在这里3200，是一个正确的2位有效数字的表达，这是完全没有问题的，在A Level物理考题的Mark Scheme里面，是普遍表明的、使用的，读者不可不察。

因此把3185写成2位有效数字的答案，并非一定要写成3.2103。

如果坚持要说3200是一个4位有效数字的数值，就不应该了。

因此，给与一个整数形式的表达，后面的零算不算是有效数字，是要看问题本身的实际状况，以及整个计算过程的状况而定，比如说以上题为例，不可直接把3200定为4位有效数字的表达了。像这种例子，在A Level物理考题的Mark Scheme里面表达的非常之多，尤其是答案是三位数、四位数，往往不用科学记数法来写，以免反而变麻烦了。先举一个例子，在2011年六月爱得思A Level物理Unit 5 第16题的Mark Scheme里，表明如下：

其中计算出来的温度T = 971 K，然而答案则写为970 K，显然是一个2位有效数字的答案，这是合理的，因为在计算中，我们可以看出3.2 W只有两位有效数字。再多举几个例子：

2012年夏季，爱得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：

以上的答案，很明显，Energy = 780 J，与Temperature = 180 K，虽然没有用科学记数法来写，但都是以二位有效数字来表达的（不能说是有3位有效数字了，后面的0，不能称为有效数字），这是合理的，因为在计算中，最低的有效数字有两位的。

2012年一月（春季），爱得思A Level物理Unit 5的Mark Scheme里：

显然，Time = 1100 s，虽然没有用科学记数法来写，还是以二位有效数字来表达的（不能说是有4位有效数字了，后面的0，实在是不能称为有效数字的），这是合理的，因为观察计算过程，就完全可以明白了。诸如此类的例子，比比皆是，不甚枚举。

四、使用有效数字的一些法则

使用有效数字，有许多默认的法则，比如说有关  四舍五入的原则，

 不同有效数字运算在一起的原则，  甚至于，与对数计算有关的

等等原则，相信读者大多有所了解，限于篇幅，本短文不加以赘述了。

五、结语

A Level物理对于有效数字的表达，有某种程度的强调，在实验部分的考卷里，会更加地重视，甚至于因此而扣分，也是完全可能的。即使不是实验考题，若在有效数字方面，表达的不好（给太多无意义的有效数字，或没按要求，给的太少），会给改考官一个不太好的印象，甚至于遭到扣分，也是可能的。剑桥的物理A Level，就更加的讲究了，请各位老师及同学多加注意。 祝 身体健康

~Dr. Yu 谨识

2014/1/6，于广州，华南国际预科中心

《近似数字与有效数字》教学设计 篇二

《近似数字与有效数字》教学设计

【教学目标】

使学生初步理解和掌握近似数字与有效数字的概念，并且给出一个 四舍五入得到的近似小数，能准确地确定它的精确度和有效数字。 【教学过程】

1、复习提问

在实际应用中，小数通过乘法取得积，往往不需要保留很多的小数位数，我们已经通过“四舍五入法”根据实际需要，保留一定的小数位数，取它的近似值。

例如 将2.953保留整数得3； 2.953保留一位小数得3.0； 2.953保留一位小数得2.95。

二、新课 1.做一做：（1）数一数班上男生的人数， 34人

（2）量一量你的数学课本的长度和宽度，量的长26厘米，宽18.5厘米。 准确数字：一个与实际完全符合的数叫做准确数字。 如： 男生34人，全班65人，车床126台等。

近似数字：一个与实际非常接近的数，叫近似数字。

（1）课本的宽度18.5厘米，由于所用的尺受到精确度的限制，并且用眼观察时，不可能非常细致，因此量到的宽度与实际宽度有所偏差。

（2）我国陆地面积为960平方千米。

（3）小明今年是12岁 。这里的18.5，960，12都是一个与实际接近的近似数字。

你还能举出一些日常遇到的近似小数吗？ 练习

1， π=3.14，其中3.14是 数；

2， 一盒香烟有20支，其中20是 数；

3， 人一步能走0.8米路的距离，其中0.8是 数； 4， 水星的半径为2440000米，其中2440000是 数。 2.关于精确度问题：

使用近似数字，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题。 我们知道 π =3.1415926„

计算中，我们需按要求取它的近似小数。

如果只取整数，那么按“四舍五入”的法则应为3，就叫精确到个位； 如果取1位小数，那么应为3.1，叫做精确地0.1，（或叫精确到十分位）； 如果取2位小数，那么应为3.14，叫做精确到0.01，（或叫精确到百分位） „„

一般地，一个近似小数四舍五入到某一位，就说这个近似小数精确到那一位。 3．近似小数的有效数字

定义：在一个近似小数中，从最左边第一个不是零的数字起，到右边最后一位四舍五入所得的数字止，所有数字都叫这个数的有效数字。

一共包含的数字的个数，叫做这个近似数字的有效数字的个数。譬如，小明身高为1.70米，1.70这个近似数字精确到百分位，共有3个有效数字1、7、0。

又如，近似数字1.02有3个有效数字，1、0、2。 例1 下列由四舍五入得到的近似数字，各精确到哪一位？各有几个有效数字？

132.4 0.0572 2.40万 30000 例2 用四舍五入法，按括号内要求对下列各数得出其的近似数字。 0.34082 （精确到千分位） 1.5046（精确到百分位） 0.0692（保留2个有效数字） 30542（保留3个有效数字） 注意：30542应用科学计数法表示3.05×10。或者用3.05万。 又如生活中，有时要用“去尾法”或“进一法”来估计的。

譬如，初一年级准备派112名同学外出参观，想租用45人坐的客车，那么需要租多少辆？

112÷45=2.488„这里不能用四舍五入法取2辆，而应用“进一法”，需要租客车3辆。

例3，近似小数1.6与1.60相同吗？

分析：从三方面进行比较，1，精确度；2，有效数字；3，原来值的范围。 设a=1.6，则原来值的范围是：1.55≤a＜1.65； 设b=1.60，则原来值的范围是：1.595≤b＜1.605。

例4，3.3是3 1／3的近似值，3 1／3是3.3的真值。

由四舍五入法得到的近似数字是1.6，则它的真值范围是1.55≤1.6＜1.65。 【小结】正确理解和掌握近似数字，准确数，精确数和有效数字的概念；给出一个近似数字，要能准确地确定它精确到哪一位，有几个有效数字；并能熟练地按要求计算出任何数的近似数字。

【作业】

1、课本 P2.14 2.选作 0.9999 保留2个有效数字是：_________ 28726 精确到千位是：_________ 2.08×10的有效数字是：_________

有效数字（大全 篇三

一、有效数字

1、在分析工作中实际能测量到的数字就称为有效数字。

2、在记录有效数字时，规定只允许数的末位欠准，而且只能上下差1。

二、有效数字修约规则

用“四舍六入五成双”规则舍去过多的数字。

即当尾数≤4时，则舍；尾数≥6时，则入；尾数等于5时，若5前面为偶数则舍，为奇数时则入。当5后面还有不是零的任何数时，无论5前面是偶或奇皆入。例如：将下面左边的数字修约为三位有效数字

2.324→2.32 2.325→2.32 2.326→2.33 2.335→2.34 2.32501→2.33

三、有效数字运算法则

1、在加减法运算中，每数及它们的和或差的有效数字的保留，以小数点后面有效数字位数最少的为标准。在加减法中，因是各数值绝对误差的传递，所以结果的绝对误差必须与各数中绝对误差最大的那个相当。

例如：2.0375＋0.0745＋39.54 = ？

39.54是小数点后位数最少的，在这三个数据中，它的绝对误差最大，为±0.01，所以应以39.54为准，其它两个数字亦要保留小数点后第二位，因此三数计算应为：

2.04＋0.07＋39.54 = 41.65

2、在乘除法运算中，每数及它们的积或商的有效数字的保留，以每数中有效数字位数最少的为标准。在乘除法中，因是各数值相对误差的传递，所以结果的相对误差必须与各数中相对误差最大的那个相当。

例如：13.92×0.0112×1.9723 = ？

0.0112是三位有效数字，位数最少，它的相对误差最大，所以应以0.0112的位数为准，即：

13.9×0.0112×1.97 = 0.307

3、分析结果小数点后的位数，应与分析方法精密度小数点后的位数一致。

4、检验结果的写法应与药典规定相一致。

有效数字教案 篇四

2.11 有效数字与科学计数法（第一课时）

学习任务分析：

学习目标：

1、了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用

2、能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数 学习重点：

按要求取一个数的近似数 学习难点：

正确地求一个近似数的精确度及它的有效数字的个数

学习过程设计：

一、问题与情境1： 请你想一想：

在实际应用中，往往不需要保留很多的小数位数，在小学算术中我们曾学过用“四舍五入法”根据实际需要保留一定的小数位数，取它的近似值． 练习：求下列近似值： (1)将2.953保留整数得3 (2)将2.953保留一位小数得3.0 (3)将2.953保留两位小数得2.95 若按数的近似值记法有： 2.953≈3 （保留整数） 2.953≈3.0 （保留一位小数） 2.953≈2.95 （保留两位小数）

二、问题与情境2： 自我学习

1．准确数和近似数

在日常生活和生产实际中，我们接触到很多这样的数：例如初一(6)班有55个学生，某工厂有126台机床，我有4个练习本，这些数：55、126、4都是与实际完全符合的准确数．但是在实际生活和实际计算中存在着大量与实际上大体符合的近似数．

又如月球到地球的距离约是38万公里，李明同学的身高约是1.63米，38万、1.63米都是与实际接近的近似数．

在计算面积、体积时，由于测量出来的长度都不可能做到绝对准确，因此所求面积、体积也是一个近似数．

所以，准确数是与实际完全符合的数，近似数是与实际接近的数． 由此我们看到在解决实际问题时，往往只能用近似数，一方面搞得绝对准确是不可能的，另一方面往往也没有必要搞得完全准确．

2．关于精确度问题．

在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数问题，使用近似数，我们知道就有一个近似程度问题，也即精确度问题．

例如前面提到的积2.953 2.953≈3 保留整数，叫做精确到个位（或精确到1）；

2.953≈3.0 保留一位小数，叫做精确到十分位（或精确到0.1）； 2.953≈2.95 保留两位小数，叫做精确到百分位（或精确到0.01）． 结果取3，就叫做精确到个位（或精确到1）； 取3.3，就叫做精确到十分位（或精确到0.1）； 取3.33，就叫做精确到百分位（或精确到0.01）． „„

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．

3．近似数的有效数字

在一个近似数中，从左边第一个不是零的数字起，到右边最后一位四舍五入所得的数字止，一共包含的数字的个数，叫做这个近似数的有效数字的个数（或位数），其中任意一位上的数字都是有效数字． 上例中，3有一个有效数字：3； 3.0有两个有效数字：

3、0； 2.95有三个有效数字：

2、9、5．

三、问题与情境3： 请你试一试

例1 下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？ (1)43.8；(2)0.03086；(3)2.4万；(4)3000．

解：(1)43.8，精确到十分位（即精确到0.1）有三个有效数字4、3、8； (2)0.03086，精确到十万分位（即精确到0.00001）有四个有效数字3、0、8、6； (3) 2.4万，精确到千位，有两个有效数字2、4； (4)3000，精确到个位，有四个有效数字3、0、0、0．

注意：(1)有效数字是从左边第一个不是零的数起；

（2）从左边第一个不是零的数起到精确到的位数（即最后一位四舍五入所得的数）止，所有的数字．例(2)中，0.03086左边第一个不是零的数是3，最后一位四舍五入所得的数是6，从3到6的所有的数是3、0、8、6，左边的两个0不算，3与6之间的0要算，这个近似数有4个有效数字3、0、8、6；

（3） 要注意末位的零，如(4)中末三个0不能丢．

（4）在实际生活中，有时近似数并不是按“四舍五入”法得到的。如：七年级3班共有54名同学，想租用38座的客车外出秋游。因为54÷38=1.421„„，这里就不能用四舍五入法，二要用“进一法”（或叫收尾法）来估计应该租用客车的数量，即应租2辆。

四、问题与情境4： 看你行不行

练习1 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？ (1)25.7；(2)0.407；

(3)103万；(4)1.60；(5)10亿．

解：(1)25.7，精确到十分位，有三个有效数字2、5、7； (2)0.407，精确到千分位，有三个有效数字4、0、7； (3)103万，精确到万位，有三个有效数字1、0、3； (4)l.60，精确到百分位，有三个有效数字1、6、0； (5)10亿，精确到亿位，有两个有效数字1、0．

练习2．近似数1.6和1.60有什么不同，能把近似数1.60写成1.6吗？ 答：近似数1.6和1.60的精确度不同，1．6是精确到十分位，有两个有效数字1、6，1.60精确到百分位，有3个有效数字1、6、0．

练习3．从近似数的观点看，近似数2.4万和24000这两个数的意义相同吗？ 答：2. 4万和24000这两个近似数的意义并不相同．2.4万表示精确到千位，它有两个有效数字2、4，24000表示精确到个位，它有五个有效数字2、4、0、0、0．

五、问题与情境5： 自我提升：

1．正确理解和掌握近似数、准确数、精确度和有效数字等概念；

2．要学会给出一个近似数，能准确地确定它精确到哪一位，它有哪几个有效数字；

3．对例1后面提及到的注意事项应引起重视．

六、问题与情境6 自我检测：

1．用四舍五入法对下列各数按括号中的要求取近似值： (1)12.17，0.009403，8607000 （保留三个有效数字）； (2)2.768，3.4017，92.598 （精确到百分位）； (3)19.74，8.965，0.409 （精确到0.1）； (4)3590，17289，3.04×104 （精确到千位）； (5)1.375，0.768，0.002561 （保留两个有效数字）； (6)89.6，213.4，1906.57 （精确到个位）； (7)3709，496317，23.91 （保留两个有效数字）．

2．用四舍五入法按要求保留有效数字，取近似数，并说出它精确到哪一位？ (l)56.32 （保留三个有效数字）； (2)0.6648 （保留一个有效数字）； (3)0.7096 （保留两个有效数字）； (4)472864 （保留四个有效数字）．

3．用四舍五入法按括号里面要求的精确度取近似数，并指出近似数有几个有效数字？

(1)708.45 （精确到个位）； (2)50437413 （精确到万位）； (3)0.04537 （精确到0.0001）； (4)1.9561 （精确到0.1）．

4．判断下列说法是否正确？为什么？ (1)近似数10.0与近似数10的精确度相同； (2)近似数4千万和近似数4000万精确度一样；

(3)2.718精确到十分位后（即精确到0.1）有两个有效数字； (4)近似数25.0和近似数25的有效数字相同，都为2、5．

典型例题

例1 判断下列各数，哪些是准确数，哪些是近似数：

（1）初一(2)班有43名学生，数学期末考试的平均成绩是82.5分； (2)某歌星在体育馆举办音乐会，大约有一万二千人参加； (3)通过计算，直径为10cm的圆的周长是31.4cm； (4)检查一双没洗过的手，发现带有各种细菌80000万个； (5)1999年我国国民经济增长7.8％．

解：(1)43是准确数．因为43是质数，求平均数时不一定除得尽，所以82.5一般是近似数； (2)一万二千是近似数；

(3)10是准确数，因为3.14是π的近似值，所以31.4是近似数； (4)80000万是近似数；

(5)1999是准确数，7.8％是近似数．

说明：1．在近似数的计算中，分清准确数和近似数是很重要的，它是决定我们用近似计算法则进行计算，还是用一般方法进行计算的依据． 2．产生近似数的主要原因：

（1）“计算”产生近似数．如除不尽，有圆周率π参加计算的结果等等； (2)用测量工具测出的量一般都是近似数，如长度、重量、时间等等；

（3）不容易得到，或不可能得到准确数时，只能得到近似数，如人口普查的结果，就只能是一个近似数；

（4）由于不必要知道准确数而产生近似数．

例2 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？

(1)38200 (2)0.040 (3)20.05000 (4)4×10

4分析：对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，如38200，就精确到个位；如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分位；象0.040有三位小数就精确到千分

4位；象20.05000就精确到十万分位；而4×10=40000，只有一个有效数字4，则精确到万位．有效数字的个数应按照定义计算．

解：(1)38200精确到个位，有五个有效数字3、8、2、0、0． (2)0.040精确到千分位（即精确到0.001）有两个有效数字4、0． (3)20.05000精确到十万分位（即精确到0.00001），有七个有效数字2、0、0、5、0、0、0． (4)4×10精确到万位，有一个有效数字4． 4说明：(1)一个近似数的位数与精确度有关，不能随意添上或去掉末位的零．如20.05000的有效数字是2、0、0、5、0、0、0七个．而20.05的有效数字是2、0、0、5四个．因为20.05000精确到0.00001，而20.05精确到0.01，精确度不一样，有效数字也不同，所以右边的三个0不能随意去掉．

（2）对有效数字，如0.040，4左边的两个0不是有效数字，4右边的0是有效数字． (3)近似数40000与4×10有区别，40000表示精确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、40，而4×10表示精确到万位，有1个有效数字4．

例3 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？

(1)70万 (2)9.03万 (3)1.8亿 (4)6.40×10

54分析：因为这四个数都是近似数，所以

（1）的有效数字是2个：

7、0，0不是个位，而是“万”位； (2)的有效数字是3个：

9、0、3，3不是百分位，而是“百”位； (3)的有效数字是2个：

1、8，8不是十分位，而是“千万”位； (4)的有效数字是3个：

6、4、0，0不是百分位，而是“千”位． 解：(1)70万。 精确到万位，有2个有效数字7、0； (2)9.03万。精确到百位，有3个有效数字9、0、3； (3)1.8亿。精确到千万位，有2个有效数字1、8； (4)6.40×10.精确到千位，有3个有效数字6、4、0． 5说明：较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万=90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．

例4 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值．

(1)1.5982（精确到0.01） (2)0.03049（保留两个有效数字） (3)3.3074（精确到个位） (4)81.661（保留三个有效数字）

分析：四舍五入是指要精确到的那一位后面紧跟的一位，如果比5小则舍，如果比5大或等于5则进1，与再后面各位数字的大小无关．

(1)1.5982要精确到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的数字，是8＞5，应当进1，所以近似值为1.60．

(2)0.03049保留两个有效数字，3左边的0不算，从3开始，两个有效数字是3、0，再看第三个数字是4＜5，应当舍，所以近似值为0.030． (3)、(4)同上．

解：(1)1.5982≈1.60 (2)0.03049≈0.030 (3)3.3074≈3 (4)81.661≈81.7

说明：1.60与0.030的最后一个0都不能随便去掉．1.60是表示精确到0.01，而1.6表示精确到0.1．对0.030，最后一个0也是表示精确度的，表示精确到千分位，而0.03只精确到百分位．

例5 用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值，并说出它的精确度（或有效数字）．

(1)26074（精确到千位） (2)7049（保留2个有效数字）

(3)26074000000（精确到亿位） (4)704.9（保留3个有效数字） 分析：根据题目的要求： (1)26074≈26000； (2)7049≈7000

(3)26074000000≈26100000000 (4)704.9≈705

（1）、(2)、(3)题的近似值中看不出它们的精确度，所以必须用科学记数法表示． 解：(1)26074=2.6074×10≈2.6×10，精确到千位，有2个有效数字2、6．

44(2)7049=7.049×10≈7.0×10，精确到百位，有两个有效数字7、0．

33(3)26074000000=2.6074×10≈2.61×10，精确到亿位，有三个有效数字2、6、1．

10

10(4)704.9≈705，精确到个位，有三个有效数字7、0、5． 说明：求整数的近似数时，应注意以下两点： (1)近似数的位数一般都与已知数的位数相同；

（2）当近似数不是精确到个位，或有效数字的个数小于整数的位数时，一般用科学记数法表示这个近似数．因为形如a×10n(1≤a＜10，n为正整数＝的数可以体现出整数的精确度． 例6 指出下列各问题中的准确数和近似数，以及近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？

（1）某厂1998年的产值约为1500万元，约是1978年的12倍；

（2）某校初一(2)班有学生52人，平均身高约为1.57米，平均体重约为50.5千克； (3)我国人口约12亿人；

（4）一次数学测验，初一(1)班平均分约为88.6分，初一(2)班约为89.0分．

分析： 对于四舍五入得到的近似数，如果是整数，就精确到个位；若有1位小数，就精确到十分位，如近似数89.0就精确到十分位．若去掉末位的“0”成为89，则精确到个位了，这就不是原来的精确度了，故近似数末位的零不能去掉．

解：(1)1998和1978是准确数．近似数1500万元，精确到万位，有四个有效数字；近似数12精确到个位，有两个有效数字．

(2)52是准确数．近似数1.57精确到百分位，有3个有效数字；近似数50.5精确到十分位，有3个有效数字．

（3）近似数12亿精确到亿位，有两个有效数字．

（4）近似数88.6和89.0都精确到十分位，都有3个有效数字．

说明：在大量的实际数学问题中，都会遇到近似数的问题．使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题．

一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位（这个数位上的数字若是0也得算）止，所有的数字，都叫做这个数的有效数字．

近似数和有效数字 篇五

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2.6近似数与有效数字

班级 姓名 学号 学习目标：1了解近似数与有效数字的概念，体会近似数的意义及在生活中的作用

2能说出一个近似数的精确度或有几个有效数字，能按照要求用四舍五入的方法取一个数的近似数

学习难点：按要求用四舍五入法取一个数的近似数 教学过程：

（一）情境创设

李宇春以3528308条短信获得冠军

周笔畅以3270840条短信获得亚军 张靓颖则以1353906条短信获得季军

今年22岁的夏洛特·凯利4年前生出詹尼弗和简孪生姐妹，今年7月30日又生出鲁思和艾米丽两位可爱的孪生小姐妹。艾米丽出生时体重约为8.12磅，鲁思出生时的体重则为约7.20磅。

（设计说明：让学生自己搜集生活中与数有关的信息，从中进一步感受数的意义）

（二）讲授新课

近似数

实际生产生活中的许多数据都是近似数，例如测量长度，时间，速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，其测量的精确程度也不同。在实际计算中对于像π这样的数，也常常需取它们的近似值。请说说生活中应用近似数的例子。

（设计说明：通过交流生活中近似数的例子，使学生认识到生活中存在近似数，感受近似数在生活中的作用，体会数学与生活的关系）

取一个数的近似值有多种方法，四舍五入是最常用的一种方法。用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 例如，圆周率=3.1415926„

取π≈3，就是精确到个位（或精确到1）取π≈3.1，就是精确到十分位（或精确到0.1） 取π≈3.14，就是精确到百分位位（或精确到0.01） 取π≈3.142，就是精确到千分位位（或精确到0.001）

有效数字

对一个近似数，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。

例如：上面圆周率π的近似值中，3.14有3个有效数字3，1，4；3.142有4个有效数字3，1， 江苏省泰州中学附中 凤凰数学网

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4，2.

（三）例题教学

例1 小亮用天平称得罐头的质量为2.026kg,，按要求取近似数，并指出每个近似数的有效数字： （1）精确到0.01kg;

（2）精确到0.1kg;

（3）精确到1kg. （设计说明：简单应用上面所学知识，先四舍五入取近似值，再确定近似数的有效数字，应注意提醒学生不能随便将小数点后的0去掉。） 例2 用四舍五入法，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示。 （1） 地球上七大洲的面积约为149480000（保留2个有效数字） （2） 某人一天饮水1890ml（精确到1000ml） （3） 小明身高1.595m（保留3个有效数字）

（4） 人的眼睛可以看见的红光的波长为0.000077cm（精确到0.00001）

（设计说明：通过讨论使学生理解用科学记数法记数，不仅便于记一些较大（小）的数，而且易于表示近似数的有效数字）

（四）课堂练习基础训练

书p78 1,2 2 创新探究

（2）张娟和李敏在讨论问题。

张娟：如果你把7498近似到千位数，你就会得到7000. 李敏：不，我有另外一种解答方法，可以得到不同的答案。首先将7498近似到百位得7500，接着把7500近似到千位，就得到8000。 张娟：„„

你怎样评价张娟和李敏的说法呢？ 3 研究性学习练习

（1） 有一个四位数x，先将它四舍五入到十位，得到近似数m，再把四位数m四舍五入到百位，得到近似数n，再把四位数n四舍五入到千位，恰好是2000，你能求出四位数x的最大值与最小值吗？

（设计说明：通过练习，进一步巩固所学知识，发展能力）

（五）课堂小结

举出生活中的近似数，指出它们精确到哪一位？各有几个有效数字？ 五 教后反思：

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【课后作业】

班级 姓名 学号

一、精心选一选

⒈圆周率π＝3.1415926„精确到千分位的近似数是

（

）

A．3.14

B．3.141

C．3.142

D．3.1416 ⒉近似数3.14×104的有效数字有

（

） Ａ．1个

Ｂ．2个

Ｃ．3个

Ｄ．4个

⒊2004年某市完成国内生产总值（GDP）达3466.53亿元，用四舍五入法取近似值，保留3个有效数字，并用科学记数法表示，其结果是

（

） A．3.47×103亿元

B．3.47×104亿元 C．3.467×103亿元

D．3.467×104亿元

⒋对于近似数10.08与0.1008，下列说法正确的是

（

） A．它们的有效数字与精确位数都不相同

B．它们的有效数字与精确位数相同 C．它们的精确位数不同，有效数字相同

D．它们的有效数字不同，精确位数相同

二、细心填一填

⒌近似数1.69万精确到

位，有

个有效数字，有效数字是

． ⒍小明的体重约为51.51千克，如果精确到10千克，其结果为

千克；如果精确到1千克，其结果为

千克；如果精确到0.1千克，其结果为

千克．

⒎2003年10月15日9时10分，我国神舟五号载人飞船准确进入预定轨道．16日5时59分，返

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回舱与推进舱分离，返回地面．其间飞船绕地球共飞行了14圈，飞行的路程约为60万km，则神舟五号载人飞船绕地球平均每圈飞行

km（用科学记数法表示，结果保留3个有效数字）．

三、用心做一做

⒏计算：⑴3＋2－3（保留两个有效数字）

⑵

32（精确到0.01）

⒐以下问题中的近似数各精确到哪一位？各有几个有效数字？ ⑴我国人口约为13亿人； ⑵π的近似值是3.14；

⑶某厂2004年的产值约为2000万元，约是1998年的6.8倍． ⒑用四舍五入法，，按要求对下列各数取近似值，并用科学记数法表示：

⑴太空探测器“先驱者10号”从发射到2003年2月人们收到它最后一次发回的信号时，它已飞离地球12200000000km（保留2个有效数字）；

⑵2005年6月5日是世界第34个世界环境日，目前全球海洋总面积约为36105.9万km2（保留3个有效数字）；

⑶光年是天文学中的距离单位，1光年大约是9500000000000km； ⑷某市全年的路灯照明用电约需4200万kw·h（精确到百万位）．

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